1. O que é uma inequação?
Inequação é uma sentença matemática que apresenta pelo menos um valor desconhecido (incógnita) e representa uma desigualdade.
Nas inequações usamos os símbolos:
- > maior que
- < menor que
- ≥ maior que ou igual
- ≤ menor que ou igual
2. Propriedades da inequação
Sejam dadas as expressões A, B, C e D.
1. Se A ≤ B, então B ≥ A
2. Se A ≤ B e B ≤ C, então A ≤ C
3. Se A ≤ B, então A + C ≤ B + C
4. Se C > 0 e A ≤ B, então CA ≤ CB
5. Se C < 0 e A ≤ B, então CA ≥ CB
6. Se A≤B e C ≤D, então A+C ≤ B+D
3. Inequação de primeiro grau
Uma inequação é do 1º grau quando o maior expoente da incógnita é igual a 1. Podem assumir as seguintes formas:
- ax + b >0
- ax + b < 0
- ax + b ≥ 0
- ax + b ≤ 0
Sendo a e b números reais e a ≠ 0.
4. Como calcular uma inequação de primeiro grau?
Para resolver uma inequação desse tipo, podemos fazer da mesma forma que fazemos nas equações. Contudo, devemos ter cuidado quando a incógnita ficar negativa.
Nesse caso, devemos multiplicar por (-1) e inverter o símbolo da desigualdade.
Exemplo 1: Resolver a inequação 3x + 19 < 40.
I) Primeiro organizar a inequação, isolando os termos dependentes de x para um lado e isolando o resto no outro lado, da seguinte maneira:
III) Logo a solução da inequação é x < 7.
Exemplo 2: Resolver a inequação 15 – 7x ≥ 2x – 30.
I) Primeiro organizar a inequação, isolando os termos dependentes de x para um lado e isolando o resto no outro lado, da seguinte maneira:
II) Nesse momento sabemos que temos que multiplicar tudo por -1. Contudo, na inequação demos lembrar de quando multiplica por -1 alterar também o sinal de inequação.
III) Logo a solução da inequação é x ≤ 5.
5. Como criar o gráfico da inequação?
Para resolver uma inequação usando esse método devemos seguir os passos:
1º) Colocar todos os termos da inequação em um mesmo lado.
2º) Substituir o sinal da desigualdade pelo da igualdade.
3º) Resolver a equação, ou seja encontrar sua raiz.
4º) Fazer o estudo do sinal da equação, identificando os valores de x que representam a solução da inequação.
Usando o exemplo 1 anterior: 3x + 19 < 40.
1º) Colocar todos os termos da inequação em um mesmo lado.
2º) Substituir o sinal da desigualdade pelo da igualdade.
4º) Fazer o estudo do sinal da equação, identificando os valores de x que representam a solução da inequação.
II) Identificamos que os valores < 0 (valores negativos) são os valores de x < 7. O valor encontrado coincide com o valor que encontramos ao resolver diretamente.
6. Inequação de segundo grau
Uma inequação é do 2º grau quando o maior expoente da incógnita é igual a 2. Podem assumir as seguintes formas:
- ax2 + bx + c > 0
- ax2 + bx + c < 0
- ax2 + bx + c ≥ 0
- ax2 + bx + c ≤ 0
Sendo a, b e c números reais e a ≠ 0.
Podemos resolver esse tipo de inequação usando o gráfico que representa a equação do 2º grau para fazer o estudo do sinal, da mesma forma que fizemos no da inequação do 1º grau.
Lembrando que, nesse caso, o gráfico será uma parábola.
Exemplo: Resolver a inequação x2 – x – 6 < 0?
Para resolver uma inequação do segundo grau é preciso encontrar valores cuja expressão do lado esquerdo do sinal < dê uma solução menor do que 0 (valores negativos).
I) Primeiro, identifique os coeficientes:
a = 1
b = – 1
c = – 6
II) Utilizamos a fórmula de Bhaskara (Δ = b2 – 4ac) e substituímos pelos valores dos coeficientes:
III) Continuando na fórmula de Bhaskara, substituímos novamente pelos valores dos nossos coeficientes:
As raízes da equação são -2 e 3. Como o coeficiente a da equação do 2º grau é positivo, seu gráfico terá a concavidade voltada para cima.
Pelo gráfico, observamos que os valores que satisfazem a inequação são: – 2 < x < 3
Podemos indicar a solução usando a seguinte notação:
